VALÓS SZÁMOK ÉS METRIKUS TEREK

A modern matematika bővelkedik absztrakt fogalmakban és bo nyolult szerkesztésekben. Ennek oka az, hogy a matematika al kalmazásai során egyre összetettebb struktúrák jelennek meg, és ezeket egyszerű matematikai modellekkel sokszor nem lehet haté konyan tanulmányozni. Ilyenek, például, a fizikában a halmazálla pot változással, folyadékáramlással és szilárd testek mechanikájá val kapcsolatos feladatok. Ugyanakkor nem szabad szem elől téveszteni, hogy a legbonyo lultabb matematikai elméletek is a valós szám fogalmára épülnek. Aki matematikával vagy annak alkalmazásaival foglalkozik, a valós számokat nem tudja kikerülni: ismernie kell azok algebrai és topoló giai struktúráját. Míg középiskolás fokon elegendő a valós számok bizonyos modelljeinek (tizedes törtek, számegyenes, stb.) ismerete, magasabb szinten célszerű a valós számok elméletének deduktív fe lépítése. Ez abból áll, hogy a valós számok bizonyos tulajdonságait axiómaként fogadjuk el, másokat pedig ezekből vezetjük le. Töb bek között, ilyen vagy olyan formában, a valós számok teljességét írjuk elő axiómaként. Míg a valós és a racionális számok halmaza hasonló algebrai struktúrával rendelkezik, a teljesség az a lénye ges tulajdonság, amely e két halmazt megkülönbözteti egymástól. Ugyanakkor, a valós számok elméletében vezérfonalként húzódik meg az a tény, hogy minden valós szám megközelíthető, tetszőle ges pontossággal, racionális számokkal. A mozgást általában valós paraméterekkel írhatjuk le. Rend szerint ehhez több paraméterre van szükség. [...]